Koelen van metalen buizen - Thermoproject IP2

Introductie¶

In het boek wordt in hoofdstuk 2 geschreven over warmtetransport. Dat kan op drie manieren plaatsvinden. Het is niet eenvoudig om deze drie verschillende vormen uit elkaar te houden. In het vak ‘Fysische Transportverschijnselen’, dat in het tweede jaar wordt gegeven, zal je zien dat de natuurkunde achter deze verschillende vormen van warmtetransport ook best ingewikkeld is.

Stralen,Stromen en Geleiden.

In deze proef proberen we een inschatting te maken van de ordegrootte van de verschillende vormen van warmtetransport bij de koeling van een metalen buis aan lucht.

Theorie¶

Volgens Newton’s wet van afkoeling is de snelheid waarmee een voorwerp afkoelt evenredig met het verschil in de temperatuur van het voorwerp ( $T$ ) en de omgeving ( $T_0$ ). We kunnen dit schrijven als:

\dot{Q} = -hA(T(t) - T_0),

(1)

waarin

$\dot{Q}$ de warmtestroom in $\mathrm{W}$ ,
$A$ het oppervlak waardoor koeling optreedt in $\mathrm{m}^2$ ,
$h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt in $\mathrm{W/(m^2 K)}$ .

Dit levert de differentiaalvergelijking

C\dot{T} = -hA(T(t) - T_0),

(2)

met $C$ de warmtecapaciteit in $\mathrm{J/kg}$ . Herschrijven met $\tau = \frac{C}{hA}$ levert:

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0,

(3)

met als oplossing:

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}.

(4)

We kunnen hieruit dus concluderen dat $\tau$ de karakteristieke tijdsduur is waarin de temperatuur van de buis een factor $\text{e}$ verlaagd ten opzichte van de omgevingstemperatuur.

We zijn hier voor het gemak uitgegaan van een $h$ die onafhankelijk is van de temperatuur. We weten echter dat warmtetransport door straling niet lineair gaat, maar als

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A (T^4 - T_0^4).

(5)

Voor kleine temperatuurverschillen ( $\Delta T = T - T_0$ ) is dit te vereenvoudigen tot

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) \approx \epsilon \sigma 4A T_0^3 \Delta T.

(6)

Zolang $\Delta T$ dus relatief klein is ten opzichte van $T_0$ , kunnen we $h$ dus inderdaad als een constante beschouwen.

Solution to Exercise 4

P=              #warmtetransport door straling
A=              #het oppervlak dat warmte uitstraalt
u_A=            #onzekerheid in bepaling oppervlak
T0=             #omgevingstemperatuur
u_T0=           #onzekeheid in omgevingstemperatuur
delta_T=        #Tempertauursveschil tussen het systeem(buizen) en omgeving 
u_delta_T=      #onzekerheid in temperatuurveschil

u_P=P*np.sqrt((u_A/A)**2+9*(u_T0/T0)**2+(u_deltaT/deltaT)**2) #het berekenen van de onzekerheid in het warmte transport

u_P = P \cdot \sqrt{\left(\frac{u_A}{A}\right)^2 + 9 \left(\frac{u_{T_0}}{T_0}\right)^2 + \left(\frac{u_{\Delta T}}{\Delta T}\right)^2}

(7)

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Materialen¶

standaard met twee thermisch geïsoleerde grijparmen
metalen buis me bijpassende dop
thermometer (infrarood of thermokoppel)
knijper voor bevestigen thermokoppel op buis
warm water tussen 60 en 80 graden Celsius
(evt) schuifmaat voor bepalen dimensies buis

Procedure¶

Stop de buis in warm water en laat deze gedurende een paar minuten zitten om thermisch evenwicht te bereiken. Beantwoord ondertussen de volgende vragen met behulp van de tabel:

Materiaal	$\rho$ in $\text{kg/m}^3$	$C$ in $\text{J} / \text{(kg K)}$
messing	8,73E3	3,8E2
aluminium	2,7E3	8,8E2
staal	7,9E3	4,7E2

Pak de buis op met thermisch isolerende handschoenen (of direct met de geïsoleerde grijparm) en plaats deze in de grijparm met isolatieschoentjes. Positioneer de thermometer voor optimale temperatuurlezing. Meet als functie van tijd hoe lichaam koelt. Wacht voldoende lang zodat je de karakteristieke tijd $\tau$ voor de afkoeling kan bepalen.

Doe dit voor twee of drie configuraties:

De buis met de as in verticale richting en afgesloten met dop.
De buis met de as in verticale richting zonder dop.
(alleen bij voldoende tijd) De buis met de as in horizontale richting en afgesloten met dop.

Data analyse¶

Bepaal de karakteristieke tijd $\tau$ waarin de temperatuur van buis afneemt. Deze kan verschillend zijn voor de drie bovenstaande configuraties.
Bereken hieruit de warmteoverdrachtscoëfficiënt.
Vergelijk je resultaten met je groepsgenoten die een vergelijkbare buis hebben gemeten (dit kan klassikaal).
Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.

Resultaten¶

# Hier de data en de analyse
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

###data:
# Temperatuur buis verticaal met dop (°C)
T_met_dop = np.array([             
    49, 48.8, 47.8, 47.2, 46.2, 45, 44.2, 43.3, 42.4, 41.8,
    41.2, 40.6, 40.1, 39.3, 38.8, 38.4, 37.9, 37.5, 37.1, 36.5,
    36.1, 35.9, 35.6, 35.2, 34.8, 34.5, 34.3, 34.1, 33.9, 33.6,
    33.5, 33.2, 32.8, 32.6, 32.5, 32.3, 32, 31.9, 31.7, 31.6,
    31.4, 31.4, 31.3, 31.2, 31.1, 30.9, 30.7, 30.6, 30.5, 30.4,
    30.3, 30.1, 30, 30, 30, 29.9, 29.9, 29.8, 29.7, 29.5,
    29.5, 29.5, 29.5, 29.4, 29.2, 29.1, 29.1, 29, 29,
    28.9, 28.9, 28.9])
t_dop = np.arange(len(T_met_dop))*10     # tijd in seconden (stap = 10 s)

# Temperatuur aluminium buis verticaal zonder dop (°C)
T_zonder_dop = np.array([
    44.4, 43.8, 43.4, 42.6, 41.9, 41.2, 40.6, 40, 39.5, 38.8,
    38.4, 38, 37.4, 37, 36.6, 36.1, 35.6, 35.4, 35, 34.6,
    34.2, 33.9, 34.1, 33.4, 33, 32.8, 32.6, 32.4, 32.1, 32,
    31.7, 31.5, 31.3, 31.2, 31, 31, 30.8, 30.6, 30.1, 30,
    30])
t_zond=np.arange(len(T_zonder_dop))*10      # tijd in seconden (stap = 10 s)

H=0.101                         #De hoogte van de buis in m
r_bu=5.1/100                    #De buitenste straal van de buis in m
di=0.2/100                      #dikte van de buis in m
r_bi=r_bu-di                    #De binnenste straal van de buis in m
A_bi=(np.pi*H*r_bi*2)           #het oppervlak van de binnenkant i m^2
A_bu=(np.pi*H*r_bu*2)           #het oppervlak van de buitenkant in m^2
A_rnd=4*np.pi*(r_bu-r_bi)       #het oppervlak van de rand in m^2
A_tot= A_bu+A_bi+A_rnd          #oppervlak dat warmte uitstraalt in m^2 door respectievelijk het buitenoppervlak, het binnenopervlak en het oppervlak van de rand op te tellen.
s= 8.8e2                        #soortelijke warmte van aluminuim in J/kg/K   
rho= 2.7e3                      #dichtheid van aluminuim in kg/m^3
V= np.pi*H*(r_bu**2-r_bi**2)    #volume van de buis in m^3
m= rho*V                        #massa van de buis in kg
C= m*s                          #De warmte capaciteit van aluminium in J/kg
T_omgeving= 20                  #omgevins temp in C






###analyse voor de buis met dop:
##curvefit:
#functie
def exp_func(t, dT, tau, T_omg):
    '''
    dT = verschiltemperatuur met omgeving aan start
    tau = de karakteristieke tijd voor de koeling
    T_omg = de omgevingstemperatuur
    '''
    return (dT * np.exp(-t/tau) + T_omg) 

#initial guesses
dT_init = T_met_dop[0]-T_omgeving       #De begin temp min de omgwvings temp geeft het temp verschil
tau_init= 1000                          #stond zo ingesteld
T_omg_init = T_omgeving

#fitten van de data, het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt, pocv = curve_fit(exp_func, t_dop, T_met_dop, p0=[dT_init, tau_init, T_omgeving], maxfev=10000)
dT_fit, tau_fit, T_omg_fit = popt       #toewijzen waarden

##plotten van de fit en data:
plt.figure()
plt.title("De fit en data van een verticale aluminium buis ZONDER dop")
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')
plt.plot(t_dop, T_met_dop, 'bo', label='measurement')
plt.plot(t_dop, exp_func(t_dop, *popt), 'r-',lw=2, label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (dT_fit, tau_fit, T_omg_fit))
plt.legend()
plt.show()

##berkenen van h 
h=C/(tau_fit*A_tot)
print("De warmteoverdrachtscoëfficiënt h is bij de proef ZONDER dop bepaald op %f W/K*m^2" %(h)) # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K





###analyse voor de buis zonder dop
##curvefitten:
#initial guesses
dT_init = T_zonder_dop[0]-T_omgeving       #De begin temp min de omgwvings temp geeft het temp verschil
tau_init= 1000                          #stond zo ingesteld
T_omg_init = T_omgeving

#fitten van de data, het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt, pocv = curve_fit(exp_func, t_zond, T_zonder_dop, p0=[dT_init, tau_init, T_omgeving], maxfev=10000)
dT_fit, tau_fit, T_omg_fit = popt       #toewijzen waarden

##plotten van de fit en data:
plt.figure()
plt.title("De fit en data van een verticale aluminium buis MET dop")
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')
plt.plot(t_zond, T_zonder_dop, 'bo', label='measurement')
plt.plot(t_zond, exp_func(t_zond, *popt), 'r-',lw=2, label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (dT_fit, tau_fit, T_omg_fit))
plt.legend()
plt.show()

##berkenen van h 
h=C/(tau_fit*A_tot)
print("De warmteoverdrachtscoëfficiënt h is bij de proef MET dop bepaald op %f W/K*m^2" %(h)) # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K

De warmteoverdrachtscoëfficiënt h is bij de proef ZONDER dop bepaald op 8.387185 W/K*m^2

De warmteoverdrachtscoëfficiënt h is bij de proef MET dop bepaald op 7.425450 W/K*m^2

Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.

Wij verwachten dat een verwaarloosbaar deel van de warmteoverdrachtcoeffcient is gegeven door geleiding omdat de aluminiumbuis in een geisoleerde klem in de lucht stond en er dus nagenoeg geen geleiding heeft kunnen plaatsvinden, bij de meting met dop geldt hetzelfde omdat de dop zelf ook niet goed geleidt. Bij de meting zonder dop en dus met veel convectie is de coeffiecient bepaald op ongeveer 8.39 $\frac{W}{K\cdot m^2}$ en bij de meting met dop en dus weinig convectie is de coefficient bepaald op ongeveer 7.43 $\frac{W}{K\cdot m^2}$ . Hieruit blijkt dus doordat er minder\geen convectie is, de coefficient met ongeveer 0.96 $\frac{W}{K\cdot m^2}$ is afgenomen. Wij verwachten daarom dat de warmteoverdrachtcoeffiecinet voor ongeveer 1 $\frac{W}{K\cdot m^2}$ wordt weergeven door convectie en voor ongeveer 7 $\frac{W}{K\cdot m^2}$ wordt weergeven door straling.

Discussie en conclusie¶

Discussie¶

In deze proef is de warmteoverdrachtscoëfficiënt bepaald voor een horizontaal gehouden aluminium buis zonder dop en een met dop aan de bovenkant. Uit de Resultaten blijkt bij de meting met dop een coefficient van $7.426 \frac{W}{K\cdot m^2}$ en bij de meting zonder dop blijkt een waarde van $8.387 \frac{W}{K\cdot m^2}$ . Deze waarden zijn in overeenstemming met de standaard waarden voor aluminium in lucht. In deze proef is het nodig om een temperatuursdaling van een factor exp te meten om een betrwouwbaar resultaat te krijgen, dit is echter niet gedaan omdat er een dunne aluminium buis is gekozen die erg snel afkoelt waardoor het heel lang zou duren om een temperatuurs daling van een factor exp te meten. In een vervolgonderzoek zou een andere buis kunnen gekozen worden zodat er wel een temperatuurdaling van een factor exp gemeten kan worden. Ook kan in de toekomst meer metingen gedaan worden om de gevonden waarde te verbeteren.

Conclusie¶

In deze proef zijn twee waardes bepaald voor de warmteoverdrachtscoëfficiënt van een aluminium buis. De eerste waarde is $8.387 \frac{W}{K\cdot m^2}$ van een buis met twee open einden. De tweede waarde is $7.426 \frac{W}{K\cdot m^2}$ waarbij een einde afgesloten is met een dop van rubber. Bijde waardes komen overeen met de standaard waardes van de warmteoverdrachtscoëfficiënt van aluminium. Hieruit is ook bepaald dat ongeveer $7 \frac{W}{K\cdot m^2}$ plaats vond door straling en $1 \frac{W}{K\cdot m^2}$ door convectie. Een vervolg onderzoek is wel nodig om deze waardes te bevestigen. Een langere meet tijd waarin een temperatuur daling van een voledige exponentiele factor gemeten kan worden.